Давид родился в 2006 году в г. Кушва Свердловской области. Музыкой начал интересоваться довольно рано, а первые уроки фортепиано в возрасте пяти лет. В 6 лет поступил на подготовительное отделение в Кушвинскую детскую музыкальную школу, через год был зачислен в первый класс. В 9 лет поступил в Уральский музыкальный колледж при Уральской государственной консерватории им. М. П. Мусоргского в класс Ларисы Анатольевны Куценко. С 2018 года обучался в классе народной артистки РФ, профессора Натальи Георгиевны Панковой. С 2020 года Давид — учащийся Центральной музыкальной школы при Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского, класс заслуженной артистки РФ, профессора Наталии Владимировны Трулль. Давид Хачатрян — лауреат международных конкурсов, в том числе X Уральского международного конкурса юных пианистов им. Прокофьева и (Екатеринбург, 2017, I премия), II Международного конкурса пианистов Klavissimo (Екатеринбург, 2018, II премия), XIII Международного конкурса пианистов Академического музыкального училища при Московской консерватории (2019, I премия), XVI Международного конкурса пианистов Центральной музыкальной школы (Москва, 2021, диплом), Международного конкурса пианистов Harmonium Online Plus (Малайзия, 2021, I премия). Хачатрян выступал на многих престижных площадках: Рахманиновский зал Московской консерватории, Малый зал консерватории, Московский международный Дом музыки, Концертный зал Армянской филармонии и многих других. Давид — стипендиат Международного благотворительного фонда «Новые имена» в Москве и Международного благотворительного фонда Владимира Спивакова.

В 2022 году Давид принял участие в концерте «Посвящение Эмилю Гилельсу» в Рахманиновском зале Московской консерватории. Также у него была профессиональная запись в штаб-квартире Гольденвейзера с личным интервью (проект «Русские сезоны»).